Notas sobre la Serie de Fourier Real

La serie de Fourier se utiliza para representar una función periódica como una suma infinita de funciones seno y coseno con diferentes frecuencias y amplitudes. Esto nos permite analizar la función en términos de su espectro de frecuencia, es decir, los componentes armónicos que la componen. La serie de Fourier lleva el nombre del matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, quien la descubrió en 1822.

La serie de Fourier de una función $f(x)$ definida en el intervalo $[-L, L]$ es la serie trigonométrica:

$$\begin{align*} f(x) &=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty}\quad \Bigl[ a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)+b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr) \Bigr]\\ &\text{Donde los coeficientes son:}\\ a_0&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) \, dx\\ \quad a_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) \, dx \\ \quad b_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) \, dx \\ \end{align*}$$

La serie de Fourier de una función par en $[-L, L]$ es la serie de cosenos:

$$\begin{align*} f(x)&=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} \quad a_n\cos(\frac{n\pi x}{L})\\ a_0&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x) \, dx\\ \quad a_n&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) \, dx \end{align*}$$

La serie de Fourier de una función impar en $[-L, L]$ es la serie de senos:

$$\begin{align*} f(x)&=\sum_{n=1}^{+\infty} \quad b_n\sin(\frac{n\pi x}{L})\\ b_n&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) \, dx \\ \end{align*}$$

Ejemplo: Encuentre la serie de Fourier de la función:

$$\begin{align*} f(x)&=\begin{cases} -1 & \text{si } -\pi<x<0 \\ \quad1 & \text{si } 0<x<\pi \end{cases} \end{align*}$$

Solución: Notamos que la función es impar, por lo que la serie de Fourier será una serie de senos. Además, la función es periódica con período $2\pi$, por lo que $L=\pi$.

Calculemos el coeficiente $b_n$ (usando la definición general):

$$\begin{align*} b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{\pi}) \, dx\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} (-1) \sin(n x) \, dx \\ &+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} (1) \sin(n x) \, dx\\ &=\frac{1}{\pi}{\Bigl[ \frac{1}{n}\cos(nx) \Bigr]}_{-\pi}^{0} -\frac{1}{\pi}{\Bigl[ \frac{1}{n}\cos(nx) \Bigr]}_{0}^{\pi}\\ &=\frac{1}{\pi}\Bigl[ \frac{\cos(0)}{n} -\frac{\cos(-n\pi)}{n} \Bigr] -\frac{1}{\pi}\Bigl[ \frac{\cos(n\pi)}{n} \\ &-\frac{\cos(0)}{n} \Bigr]\\ &=\frac{1}{\pi}\Bigl[ \frac{1}{n} -\frac{1}{n}\cos(n\pi) \Bigr] -\frac{1}{\pi}\Bigl[ \frac{1}{n}\cos(n\pi) -\frac{1}{n} \Bigr]\\ &=\frac{1}{\pi}\Bigl[ \frac{1}{n} -\frac{{(-1)}{^n}}{n} \Bigr] -\frac{1}{\pi}\Bigl[ \frac{(-1)^{n}}{n} -\frac{1}{n} \Bigr]\\ &=\frac{1}{\pi}\biggl(\Bigl[ \frac{1}{n} -\frac{(-1){^n}}{n} \Bigr] -\Bigl[ \frac{{(-1)}^{n}}{n} -\frac{1}{n} \Bigr] \biggr)\\ &=\frac{1}{\pi}\biggl(\frac{2}{n} -\frac{2 {(-1)}^{n}}{n} \biggr)\\ &=\frac{2}{n\pi}\biggl(1 -(-1)^{n} \biggr)\\ &=\frac{2}{\pi}\biggl( \frac{1 +(-1)^{n+1}}{n} \biggr)\\ \end{align*}$$

Usando la propiedad de paridad de la función seno:

$$\begin{align*} b_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{\pi}) \, dx\\ &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} (1) \sin(n x) \, dx\\ &=\frac{2}{\pi}{\Bigl[ -\frac{1}{n}\cos(nx) \Bigr]}_{0}^{\pi}\\ &=\frac{2}{\pi}\Bigl[ -\frac{1}{n}\cos(n\pi) +\frac{1}{n}\cos(0) \Bigr]\\ &=\frac{2}{\pi}\Bigl[ -\frac{1}{n}(-1)^{n} +\frac{1}{n} \Bigr]\\ &=\frac{2}{\pi}\biggl( \frac{1 -(-1)^{n}}{n} \biggr)\\ &=\frac{2}{\pi}\biggl( \frac{1 +(-1)^{n+1}}{n} \biggr)\\ \end{align*}$$

Por lo tanto, la serie de Fourier de la función es:

$$\begin{align*} f(x)&= \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty} \quad \biggl( \frac{1 +(-1)^{n+1}}{n} \biggr) \sin(nx)\\ \end{align*}$$

Observamos que ambos métodos dan el mismo resultado, pero el segundo método (usando la propiedad de paridad de la función seno) es más corto y fácil de calcular.

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Recordatorio: Propiedades de paridad de las funciones seno y coseno

Función par: Una función $f(x)$ es par si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f(x)$.
Función impar: Una función $f(x)$ es impar si $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f(x)$.
Propiedad de paridad de la función seno: La función seno es una función impar, lo que significa que $\sin(-x)=-\sin(x)$ para todo $x$ en el dominio de la función seno.
Propiedad de paridad de la función coseno: La función coseno es una función par, lo que significa que $\cos(-x)=\cos(x)$ para todo $x$ en el dominio de la función coseno.

Siempre que estemos trabajando con una función impar, podemos usar la propiedad de paridad de la función seno para calcular el coeficiente $b_n$. De manera similar, cuando tenemos una función par, podemos usar la propiedad de paridad de la función coseno para calcular el coeficiente $a_n$.

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Serie de Fourier Compleja

La serie de Fourier compleja es una forma alternativa de escribir la serie de Fourier de una función $f(x)$ definida en el intervalo $[-L,L]$. La serie de Fourier compleja de una función $f(x)$ definida en el intervalo $[-L,L]$ es la serie:

$$\begin{align*} f(x) &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \quad c_n e^{i\frac{n\pi x}{L}}\\ \end{align*}$$

Where the coefficient is given by:

$$\begin{align*} c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x) e^{-i\frac{n\pi x}{L}} \, dx\\ \end{align*}$$

Ejemplo: Encuentre la serie de Fourier compleja de la función en $[-\pi, \pi]$:

$$\begin{align*} f(t)&=\cos(\frac{t}{2})\\ \end{align*}$$

Solución: Notamos que la función es periódica con período $2\pi$, por lo que $L=\pi$.

Calculamos el coeficiente $c_n$:

$$\begin{align*} c_n&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-i\frac{n\pi t}{\pi}} \, dt\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\frac{t}{2}) e^{-in t} \, dt\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (\frac{e^{i\frac{t}{2}} + e^{-i\frac{t}{2}}}{2}) e^{-in t} \, dt\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (e^{i\frac{t}{2}} + e^{-i\frac{t}{2}}) e^{-in t} \, dt\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i\frac{t}{2}} e^{-in t} \, dt +\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i\frac{t}{2}} e^{-in t} \, dt\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(\frac{t}{2}-nt)} \, dt +\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i(\frac{t}{2}+nt)} \, dt\\ &=\frac{1}{4\pi} \biggl[ \frac{e^{i(\frac{t}{2}-nt)}}{i(\frac{1}{2}-n)} \biggr]_{-\pi}^{\pi} +\frac{1}{4\pi} \biggl[ \frac{e^{-i(\frac{t}{2}+nt)}}{-i(\frac{1}{2}+n)} \biggr]_{-\pi}^{\pi}\\ &=\frac{1}{4\pi} \biggl[ \frac{e^{i(\frac{1}{2}-n)\pi}}{i(\frac{1}{2}-n)} -\frac{e^{-i(\frac{1}{2}-n)\pi}}{i(\frac{1}{2}-n)} + \frac{e^{-i(\frac{1}{2}+n)\pi}}{-i(\frac{1}{2}+n)} -\frac{e^{i(\frac{1}{2}+n)\pi}}{-i(\frac{1}{2}+n)} \biggr]\\ &=\frac{1}{4\pi} \biggl[ \frac{e^{i(\frac{1}{2}-n)\pi}}{i(\frac{1}{2}-n)} -\frac{e^{-i(\frac{1}{2}-n)\pi}}{i(\frac{1}{2}-n)} - \frac{e^{-i(\frac{1}{2}+n)\pi}}{i(\frac{1}{2}+n)} +\frac{e^{i(\frac{1}{2}+n)\pi}}{i(\frac{1}{2}+n)} \biggr]\\ &=\frac{1}{4\pi} \biggl[ \frac{e^{i\frac{\pi}{2}} e^{-in\pi}}{i(\frac{1}{2}-n)} -\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{-in\pi}}{i(\frac{1}{2}-n)} - \frac{e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{ in\pi}}{i(\frac{1}{2}+n)} +\frac{e^{i\frac{\pi}{2}} e^{in\pi}}{i(\frac{1}{2}+n)} \biggr]\\ &=\frac{1}{4\pi} \biggl[ \frac{i(-1)^n }{i(\frac{1}{2}-n)} -\frac{-i(-1)^n }{i(\frac{1}{2}-n)} - \frac{-i(-1)^n}{i(\frac{1}{2}+n)} +\frac{i(-1)^n}{i(\frac{1}{2}+n)} \biggr]\\ &=\frac{1}{4\pi} \biggl[ \frac{2(-1)^n }{(\frac{1}{2}-n)} +\frac{2(-1)^n}{(\frac{1}{2}+n)} \biggr]\\ &=\frac{(-1)^n}{2\pi} \biggl[ \frac{1 }{(\frac{1}{2}-n)} +\frac{1}{(\frac{1}{2}+n)}\biggr]\\ &=\frac{(-1)^n}{2\pi} \biggl[ \frac{2 }{(1-2n)} +\frac{2}{(1+2n)}\biggr]\\ &=\frac{(-1)^n}{\pi} \biggl[ \frac{1 }{(1-2n)} +\frac{1}{(1+2n)}\biggr]\\ &=\frac{(-1)^n}{\pi} \biggl[ \frac{2 }{(1-4n^2)} \biggr]\\ \end{align*}$$

Por lo tanto, la serie de Fourier de la función es:

$$\begin{align*} f(t)&=\frac{2}{\pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \quad \frac{(-1)^n}{(1-4n^2)} e^{in t}\\ \end{align*}$$

Usar la serie de Fourier compleja a menudo produce un resultado más corto y fácil de calcular que usar la serie de Fourier real. Además, la serie de Fourier compleja es más sencilla de manipular que la serie de Fourier real. Por ejemplo, la serie de Fourier compleja es más fácil de diferenciar e integrar que la serie de Fourier real.

Recordar las siguientes propiedades de la exponencial compleja:

$$\begin{align*} e^{i\theta}&=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\\ e^{-i\theta}&=\cos(\theta)-i\sin(\theta)\\ \cos(\theta)&=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ \sin(\theta)&=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\\ \cosh(\theta)&=\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}\\ \sinh(\theta)&=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}\\ \end{align*}$$

También recordar que:

$$\begin{align*} \cos(n\pi)&= \cos(-n\pi)={(-1)}^{n}\\ \sin(n\pi)&=0\\ \cos(\frac{n\pi}{2})&=0\\ \sin(\frac{n\pi}{2})&= \sin(-\frac{n\pi}{2})={(-1)}^{n+1}\\ \end{align*}$$

Con estas propiedades, puede calcular la serie de Fourier compleja de una función de manera más fácil y rápida.